Ingegneria Forum

Prova con elementi finiti triangolari!!!!

I risultati sono giusti!!!! O, perlomeno in linea on gli schemi che hai postato.

La rigidezza va con L elevata al cubo o alla quarta, se guardi la piastra è ovvio che la parte lungo l'asse verticale (il lato corto) è quello più rigido, e di conseguenza si prende il carico maggiore.

Ora nel primo e nel secondo esempio hai schematizzato il lato corto con 4 quadrati nel primo esempio e con 5 quadrati nel secondo, risultato: la soluzione è simile nei due esempi.

Nell'altro caso, hai eseguito la schematizzazione del lato corto (quello più rigido), con 14 (mi pare di contare) elementi. Mentre nel lato lungo con soli 5 elementi.

Morale della favola: La soluzione converge più velocemente a quella esatta se s'infittisce la mesh nel lato più rigido, perchè questo infittimento di mesh gli farà perdere rigidità, aumentando gli spostamenti più velocemente di quanto sarebbe successo se la mesh fosse stata infittita dal lato lungo essendo lo stesso (per via della lunghezza), meno rigido di quello corto.

Maggiori sono gli elementi in cui tu discretizzi il dominio, maggiore è la precisione della soluzione.
E' chiaro che maggiori sono gli elementi, maggiore è la banda della matrice di rigidezza, maggiore è il tempo per risolvere il problema ku=f dove u è incognita.

Comunque se per assurdo utilizzassi un infinità di elementini infittendo la mesh in modo esagerato tenderesti alla soluzione teorica (facendo finta che gli errori numerici non esistano).


Il problema sta nella discretizzazione, discretizzando crei una griglia che approssimano la realtà, se la realtà è approssimata male, la soluzione sarà di cattiva qualità, se invece la realtà è approssimata bene la soluzione tenderà a quella esatta.

 In una struttura come quella che hai postato si vede ad occhio che il carico maggiore va a finire verso la parte più corta.

Esempio numerico

Piastra rettangolare con 100kg al centro. Ammettiamo che la rigidezza sia tale che l'80 % vada sul lato corto ed il 20 % sul lato lungo.

Quando vai a discretizzare mettendo un milione di elementi lungo il lato lungo e 3 elementi lungo il lato corto, tu stai ottenendo la soluzione esatta per il 20% del carico, mentre ottieni una soluzione sbagliata per l'80 % del carico.

Esempio opposto: Se invece discretizzi con un milione di elementi lungo il lato corto e 5 elementi lungo il lato lungo, in questo caso otteresti una soluzione approssimata per il 20% del carico e una soluzione quasi reale per il restante 80 %.
Anche se non teoricamente perfetto l'esempio dà il senso di come funzionano le cose.

In pratica lo stesso numero di elementi e lo stesso tempo di calcolo ti porta ad una soluzione che nel prino caso è sbagliata per il 70 %, mentre nel secondo è giusta per il 90 %. (numeri sparati a caso)


Poi cìè chi non ha  fatto meccanica computazione e teoria delle strutture (leggasi : Architetti ), che hanno la faccia tosta di dire (non tutti ovviamente), :"metto quattro numeri in un programma e mi esce il ferro"!!!!

L'elemento finito ti serve per descrivere il comportamento di una struttura. Se devi discretizzare un telaio in c.a. usi delle aste collegati ai nodi. Questa discretizzazione non ti dà l'esatta distribuzione degli sforzi all'interno della generica barra d'armatura, ne ti fa visualizzare come cambia la tensione in quel punto dove si sopvrappongono 2 barre.

Questa schematizzazione però ti da i valori esatti dei momenti dei tagli e degli sforzi normali, oltre a farti vedere gli spostamenti sotto sisma o per i carichi verticali.

Se volessi studiare nello specifico come si comporta quel pezzo di calcestruzzo dove all'interno ci sono le due barre sovrapposte dovresti creare un modello locale, magari infittendo la mesh solo in quella zona, oppure eseguendo una nuova mesh in quella zona e analizzando solo quella prendendo come azioni esterne quelle della prima elaborazione.

Comunque il punto non è questo, è ovvio che se uitlizzi una funzione di forma errata che tiene conto soltanto degli spostamenti dei nodi, dopo l'elaborazione non potrai vedere gli effetti dati dalla rotazione del nodo.



Per la forma degli elementi è sempre meglio creare elementi di forma equilatera, al fine di non creare casini numerici, immagina un elemento finito lungo 100000 cm e largo 1 cm, avresti un rapporto tra le unità pari a 1/100000 , in pratica il pc vedrebbe uno zero. Matrice mal condizionata.

Potresti proporre proprio questa cosa per la tesina d'esame, ovvero portare le dimensione dell'elemento finito agli estremi facendo vedere come sballa la soluzione.


Comunque per elementini quadrilateri la soluzione migliore viene data da miliardi di elementini quadrati i più piccoli possibili e tutti uguali, purtroppo però la Nasa ci dovrebbe prestare uno dei suoi pc 

Ma il problema più grosso nelle pratiche applicazioni è quello della scelta della dimensione media della discretizzazione nel caso (quello più frequente) di carichi e coppie concentrati (provenienti da pilastri).
Infatti all'aumentare della discretizzazione non si ha nessuna convergenza nei punti di applicazione dei carichi concentrati: gli sforzi in tali nodi aumentano al diminuire delle dimensioni degli elementi finiti!
Come superare il problema?

Non ho capito!!

In pratica dici che se in una piastra, appoggiata su più pilastri, se infittisco la mesh in prossimità di un pilastro le sollecitazioni aumentano all'aumentare dell'infittimento della mesh?

Provare per credere. E' lo stesso probema che aveva timoshenko con il  carico concentrato nella soluzione differenziale (i valori del momento andavano all'infinito= punto singolare dell'eq.diff.della piastra).

Mi spieghi esattamente come è schematixzzato il solaio (la piastra), come è schematizzato il pilastro se come asta, oppure come appoggio e come sono caricati i nodi?
Perchè potrebbe essere un problema di locking

Il problema si presenta in qualsiasi piastra con un carico concentrato applicato in corrispondenza di un nodo interno (sia in elevazione che alla winkler). nel caso dell'esempio citato in questo topic basta aggiungere un carico concentrato in un qualsiasi nodo interno (non perimetrale). Ci sono software che automaticamente provvedono a trasformare tale carico (e dovrebbero dire nel manuale quale operazione di diffusione fanno) ma se non lo fanno si verifica il problema che ho prima detto.

E' vero il contrario. I software FEM lavorano solo con forze e spostamenti concentrati. Eventuali carichi ripartiti vengono moltiplicati per l'area e ripartiti sui nodi. Il carico dell'esempio di questo topic, quando assegnato sarà asssegnato come carico nodale, e la soluzione sarà data come soluzione (in termini di spostamento) nodale. Una volta ottenuto lo spostamento del nodo per ogni elementino viene calcolata la tensione e lo spostamento utilizzando le funzioni di forma, prendendo come condizioni al contorno gli spostamenti dei nodi che lo delimitano.
Per calcolare le sollecitazione si moltiplicano gli spostamenti per la matrice di rigidezza dell'elementino.

Invece di parlare fai una prova con il programma che hai. Inserisci un carico concentrato e poi riduci la mesh (a parità di carico concentrato) e così via.

à e così via

Scrivere, sto scrivendo 

Una domanda, ma il carico è posizionato al centro dell'elemento finito o su un nodo dell'elemento finito, cioè nell'esempio dell'immagine di sopra, la forza di cui parli cade su un nodo o nel centro piastra?

Per meglio evidenziare il problema il carico deve gravare su un nodo più o meno centrale (nodo interno e non vicinissimo al  perimetro). Nei vari tentativi il nodo caricato deve avere ovviamente sempre le stesse coordinate (le mesh devono quindi sempre contemplare un nodo nella predetta posizione).
La convergenza FEM si ottiene per carichi ripartiti in quanto i carichi che vanno sui nodi dei singoli FEM si riducono man mano che si riduce la mesh: ciò che non avviene per carichi concentrati che restano fissi al variare della mesh.

Insomma il problema esiste e mi meraviglia che nessuno se ne sia accorto. Parlare non serve (le opinioni stanno a zero).  Qualche esempio numerico e  passa la paura (o meglio viene...)
Perchè Druker che tanto ci tiene alla precisione nei risultati FEM non fa qualche tentativo con forze concentrate invece che con i soliti carichi distribuiti.
Il problema è frequente (nella pratica profess.) in fondazione nel caso di platea alla winkler con pilastri. Ma è più facile fare delle prove veloci con piastra in elevazione.