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Ingegneria Edile, Strutturale & Geotecnica => .:Strutture:. => Topic started by: ing Cats on 23 February , 2011, 21:11:50 PM
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Mi scuso subito per la domanda banale ma..... data una sezione in Ca ( di cui conosco geometria e armatura) sollecitata da un dato M e N, come mi trovo l'asse neutro? Non posso più usare il così detto "metodo n" ossia omogenizzare l'acciao a calcestruzzo, vero?
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Se stai operando agli stati limite (come ormai è obbligo fare) devi imporre l'equilibrio della sezione a partire da una configurazione deformata "di tentativo".
Se poi applichi lo stress block e i concetti delle norme tecniche un po' la cosa si semplifica ma il concetto rimane uguale.
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e come faccio a dire che la deformata di tentativo è poi quella giusta? Potrei ad esempio imporre di usare il cls e l'acciaio teso al massimo delle loro possibilità....quindi, come hai suggerito, con l'equilibrio trovo l'asse neutro di una sezione che potrei definire "performante" ma non so se realmente la sezione lavora così..... Non so se mi sono spiegata....
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Ahi Ahi Ahi... :prof:
Allora, la configurazione deformata deve essere EVIDENTEMENTE congruente con le ipotesi di sezioni piane e perfetta aderenza, inoltre, una volta ricavata la posizione dell'asse neutro potrai verificare se le ipotesi di deformazione assunte sono corrette, altrimenti si modificano e si "ritenta".
Un piccolo appunto/consiglio, trovati un testo i tecnica delle costruzioni che sia basato sugli stati limite (quindi non troppo vecchio!) e studiati il sistema, è più semplice di quanto si possa spiegare tramite forum.
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in quelli che ho letto si parte, appunto, sempre da una deformazione imposta. si posizionano sempre su una retta limite e da li si trovano l'asse neutro.Ne conosci uno dove invece viene trattato il mio problema? almeno me lo guardo e mi metto il cuore in pace :asd:
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Ecco alcune indicazioni.... :)
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..... data una sezione in Ca ( di cui conosco geometria e armatura) sollecitata da un dato M e N, come mi trovo l'asse neutro? Non posso più usare il così detto "metodo n" ossia omogenizzare l'acciao a calcestruzzo, vero?
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e come faccio a dire che la deformata di tentativo è poi quella giusta? Potrei ad esempio imporre di usare il cls e l'acciaio teso al massimo delle loro possibilità....quindi, come hai suggerito, con l'equilibrio trovo l'asse neutro di una sezione che potrei definire "performante" ma non so se realmente la sezione lavora così..... Non so se mi sono spiegata....
Ciao ing Cats
Attenzione: Occorre capire bene come si effettuano le verifiche delle sezioni in c.a., altrimenti ono si riesce ad interpretare bene i risultati calcolo.
Occorre distinguere 2 metodi di calcolo
1) Metodo: Calcolo ELASTICO - Calcolo allo Stato Limite di Esercizio - Metodo n.
Tutti queste diciture indicano sostanzilmente la stessa cosa: un calcolo elastico della sezione. Definita la sezione e i carichi effettivi sulla sezione N ed Mf, si detrmina l'asse neutro in modo (con semplici formulazioni di equilibrio) e quindi le tensioni nel ferro e nel calcestruzzo.
Calcolo elastico cosa vuol dire?
Vuol dire che se raddoppio N e Mf, raddoppiano le tensioni nel ferro e nel cls, l'asse neutro non cambia. Se triplico N e Mf, triplico le tensioni nel ferro e cls e così via.
Quello che ottengo quindi E' LO STATO TENSIONALE dovuto alle forze agenti N ed Mf.
2) Metodo: Calcolo ALLO STATO LIMITE ULTIMO.
Qui la filosofia è diversa: noi NON calcoliamo le tensioni e l'asse neutro dovuto alle azioni Nd e Md di progetto, ma calcoliamo il Momento di rottura Mr della sezione (mantenedo Nd costante).
L'asse neutro e le tensioni che troviamo NON sono le sollecitazioni dovute alle mie forze applicate, ma sono quelle di rottura.
Ne deriva che se io raddoppio il momento flettente di progetto Md, il momento di rottura della sezione Mr non cambia perchè il momento di rottura è una caratteristica della sezione, dei materiale e della Nd costante applicata.
La mia verifica si limiterà a controllare se Md sollecitante è < Mr resistente.
Attenzione: Io non conosco le tensioni effetive della sezione provocate dalla sollecitazione di progetto Md, e non c'è modo di conoscerle (perchè la soluzione non è univoca).
Quello che ottengo quindi NON E' LO STATO TENSIONALE DELLA SEZIONE dovuto alle forze agenti Nd ed Md, ma è, invece, lo stato tensionale della sezione nel momento della rottura.
L'asse neutro X la SimaC e la SigmaF non sono quelli reali, ma quelli di rottura. Quelli reali, semplicemente non li conosco.
L'unica cosa che so è che se Md < Mr allora le tensioni saranno inferiori a quelle di rottura.
Chiarito questo, come faccio a calcolare il momento di rottura di una sezione soggetta ad Nd costante?.
Per fare questo occorre costruire il dominio di rottura.
A questo proposito si osserva che, se io stabilisco a priori la posizione dell'asse neutro, tutti gli altri parametri sono univocamente detrminati.
Ad esempio ho una sezione di cls larga 30 cm alta 70 con 4d16 in basso e 3 d12 in alto.
Posizione l'asse neutro a 10 cm dal bordo superiore della trave. Faccio ruotare la faccia della sezione intorno all'asse neutro. Il calcestruzzo in alto si schiaccerà e il ferro in basso sarà teso. Ad un certo punto ottengo la rottura della sezione. Quando?.
Quando il bordo superiore del cacestruzzo si è deformato al 3,5 permille, oppure quando il bordo inferiore della trave ha raggiunto l'allungamento di rottura del ferro (ad esempio 10 permille).
Trovata la rotazione di rottura, si può calcolare le tensioni nelle barre di armatura perchè conosciamo le deformazioni e, tramite queste calcoliamo le tensioni.
Analogamente conosciamo le deformazioni del cls e tramite queste calcoliamo le tensioni.
C'è un problema. Dobbiamo tenere conto della plasticizzazione dei materiali. Per fare questo si divide il cls
in striscioline e si applica ad ogni strisciolina la tensione dovuta a quella deformazione (diagramma parabola rettangolo).
Finito il calcolo si sommano tutti i contributi ottenendo NUltimo e Multimo riferiti al baricentro della sezione
Questi sono 2 punti del dominio. Gli altri si troveranno variando la posizione dell'asse neutro.
Esiste una soluzione più semolice per calcolare il dominio?.
Io l'ho cercata e non l'ho trovata. Capisco la complessità della procedura ma, almeno si sà quello che si sta facendo. E' evidente puoi che non dovrai costruire il dominio ogni volta che devi verificare una sezione, questo lo fanno i programmi, ma tu devi capire cosa fa il programma.
Ciao, alla prossima
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grazie betoniera, rendi tranquilli i miei sonni :)
Concordo sul fatto che bisogna capire cosa fa il programma, per questo cerco di farmi sempre tante domande, spesso banali come questa, ma che per una inesperta come me non lo sono affatto.
Non mi consola il fatto di non riuscire a definire l'asse neutro, la SimaC e la SigmaF reali...però posso verificare la sezione nel dominio di rottura.
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Perchè sei perplessa sul fatto che non conosci le tensioni di un determinato stato sollecitante? (che poi non è del tutto vero nel senso che le tensioni che generano Mult e Nult le conosci, non conosci quelle associate ad Nd ed Md che tuttavia potrebbero ricadere ancora in campo elastico).
A rigore nemmeno in fase elastica conosci le tensioni del calcestruzzo perchè si sta trascurando senza tanti complimenti la resistenza a trazione del calcestruzzo (come è più che giusto fare ma a rigore anche il calcolo elastico è un calcolo "convenzionale").
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Non è che sono perplessa....mi serviva di sapere l'effettivo (ovviamente con tutte le ipotesi e le semplificazioni che si fanno nei calcoli) stato tensionale di una sezione con determinate sollecitazioni per verificare i risultati che mi dava un programma....ma, appunto, l'unica cosa che riesco a fare è vedere se la sezione rientra o meno nel dominio di rottura.
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Non è che sono perplessa....mi serviva di sapere l'effettivo (ovviamente con tutte le ipotesi e le semplificazioni che si fanno nei calcoli) stato tensionale di una sezione con determinate sollecitazioni per verificare i risultati che mi dava un programma....ma, appunto, l'unica cosa che riesco a fare è vedere se la sezione rientra o meno nel dominio di rottura.
Nelle ipotesi dei diagrammi costitutivi utilizzati per il calcolo classico di resistenza (parabola rettangolo per cls. e bilineare per l'acciaio) è sempre possibile univocamente stabilire le tensioni e le deformazioni in equilibrio con gli assegnati sforzi di progetto N, Mx,My. L'algoritmo non lineare si basa sulla risoluzione iterativa di un sistema di 3 eq. nelle 3 incognite deformazioni unitarie e consente, una volta trovate le tensioni e le deformazioni (in tutti i punti significativi della sezione) di controllare il superamento, o meno, delle condizioni di rottura della sezione sia per il cls. che per l'acciaio. Ne deriva che in astratto non è necessario determinare il dominio di rottura per verificare una sezione allo SLU; secondo me il continuo riferimento agli sforzi ultimi è dovuto più che altro all'impostazione storica e culturale del calcolo agli stati limite (la rottura di una sezione è meglio espressa in termini di sforzi ultimi e non di tensioni ultime).
Vi assicuro, però', che in pressoflessione deviata è più facile verificare con il procedimento sopra esposto (molto simile a quello impiegato nel metodo alle tensioni ammissibili) che quello consueto (???) che deve valutare gli sforzi ultimi connessi con l'assegnato percorso di carico (di solito quello a sforzo normale costante). La difficoltà menzionata si manifesta persino nelle NTC ed Eurocodici che prevedono la semplificazione del calcolo in presso fl.deviata consentendo il disaccoppiamento della verifica l'uso di domini analitici semplificati. Semplificazione oggi inattuale visto la grande disponibilità di specifici programmi di calcolo e l'inutilità di far riferimento a calcolazioni manuali (non le fa nessuno tranne che per quei pochi controlli previsti dalle norme).
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In realtà non sono affatto d'accordo con Renato (sempre che abbia capito il senso del suo intervento).
La corrispondenza biunivoca tra una generica tripletta di sollecitazione N,Mx,My e deformazione, a meno che la tripletta non sia una configurazione di rottura, non c'è.
Superando il limite elastico una barra d'acciaio può generare sempre e comunque una forza pari a Af*3913 kg/cm², e questo qualsiasi sia la sua deformazione. Idem il calcestruzzo, una volta superata la soglia del 2 per mille.
In questi casi, senza giungere ai valori di rottura, è possibile rispettare l'equilibrio, pur con stati deformativi differenti.
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In realtà non sono affatto d'accordo con Renato (sempre che abbia capito il senso del suo intervento).
La corrispondenza biunivoca tra una generica tripletta di sollecitazione N,Mx,My e deformazione, a meno che la tripletta non sia una configurazione di rottura, non c'è.
Superando il limite elastico una barra d'acciaio può generare sempre e comunque una forza pari a Af*3913 kg/cm², e questo qualsiasi sia la sua deformazione. Idem il calcestruzzo, una volta superata la soglia del 2 per mille.
In questi casi, senza giungere ai valori di rottura, è possibile rispettare l'equilibrio, pur con stati deformativi differenti.
Al variare della curvatura della sezione (per effetto degli sforzi flettenti e normali agenti) non tutti i punti del cls. della sezione possono superare la soglia del 0,2%: ne consegue che quei punti sotto lo 0,2% sviluppano ancora una reazione elastica che orienta i successivi tentativi iterativi. Idem per le barre in acciaio. Insomma a rottura non tutte le fibre di cls sono plasticizzate e ciò rende possibile l'equilibrio fino a quando il superamento delle deformazioni limite del cls. o dell'acciaio denota il superamento del dominio convenzionale di normativa.
Ti assicuro che se i legami costitutivi sono monotoni non decrescenti la soluzione è unica (da me programmata in flessione composta deviata nel 1983); peccato che il metodo non fornisca facilmente la frontiera (e quindi il dominio): occorrono troppe iterazioni.
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Bene Renato. Voglio crederti. Non mi sono per nulla preparato e voglio ragionare con te mentre scrivo. Se arrivo bene, altrimenti ti pregherò di continuare al posto mio.
Facciamo un esempio numerico semplice semplice in modo che si possa arrivare alla tua conclusione.
Solita sezione 25x50 cm (Rck 300), con 2fi16 (B450C) solamente in basso con 5 cm di copriferro.
Utilizzando il VCASLU trovo il seguente dominio di interazione N-M:
(http://s3.postimage.org/nd9j5aro/Dominio.jpg) (http://postimage.org/image/nd9j5aro/)
Perfetto, a questo punto decido di calcolare, sempre con VCASLU, il momento di rottura della sezione con Nr=10 kN. Eccolo qui, con tutti i dati relativi:
(http://s3.postimage.org/negj4blw/Momento.jpg) (http://postimage.org/image/negj4blw/)
Quindi un momento di Mr=69.22 kNm. Ovviamente il punto Nr;Mr è un punto che sta sul dominio di rottura tracciato nella prima immagine.
Vediamo, con i dati della schermata di risalire a questi due valori, in funzione dello stato deformativo della sezione. In particolare si evince che la sezione si rompe lato cls (cosa ovvia con il DM2008), e che l'acciaio ha superato il suo limite elastico.
Sempre per semplificare ipotizziamo un diagramma stress-block per il calcestruzzo (cosa che il VCASLU non fa).
Nr=b*0.8*x*fcd-Af*sigmaf
(che tradotto in numeri)
Nr=25*0.8*5.827*141.7-4.02*3913=7.83 kN
Mr=b*0.8*x*fcd*(H/2-0.4*x)+Af*sigmaf*(H/2-c)
(che tradotto in numeri)
Mr=25*0.8*5.827*141.7*(25-0.4*5.827)+4.02*3913*(25-5)=68.90 kNm
Sono valori un pò differenti da quelli del VCASLU, ma è probabile che siano affetti dalla approssimazione fatta utilizzando il diagramma Stress-block per il calcestruzzo.
Le formule però mi servono, perchè adesso voglio vedere se riesco a ricavare una ed una sola configurazione deformata quando mi sposto all'interno del dominio di rottura, abbandonando la sua frontiera.
Ipotizziamo di avere un punto pari ad Nr;0.9*Mr. Questo punto è certamente interno al dominio.
Adesso, affinchè modificando lo stato deformativo della sezione, possa rimanere inalterato lo sforzo normale, vorrà dire che i due addendi posso variare come vogliono, ma che la loro differenza deve rimanere costante. E questo, finchè l'acciaio permane in campo plastico è impossibile. Ciò significa che l'acciaio deve "tornare" in campo elastico, ed in definitiva la sua tensione è pari ad E*deform.
Se nella seconda espressione si sostituisce ad Mr il valore 0.9*Mr, si ha la possibilità di mettere a sistema le due equazioni, e poichè alla fine le incognite sono solamente 2, posizione dell'asse neutro e deformazione "elastica" dell'acciaio, mi sa mi sa, che tu Renato hai proprio ragione. La soluzione è una ed una sola.
Ora io non so se l'aver assunto lo stress-block come riferimento mi abbia semplificato il problema e me lo abbia fatto risolvere. E non so nemmeno se ho seguito la "retta via" per giungere a questa conclusione. Sappimi dire.
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Ciao Zax, seguendo con interesse le tue riflessioni ho messo gli stessi numeri ma mi vengono valori leggermente diversi.
Dimentico qualcosa?
(http://s2.postimage.org/2ggci8w9w/25x50.jpg) (http://postimage.org/image/2ggci8w9w/)
Rettifico io:
Manca N=10 KN
Sorry! :doh:
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(http://img714.imageshack.us/img714/2950/zaxq.jpg) (http://img714.imageshack.us/i/zaxq.jpg/)
Uploaded with ImageShack.us (http://imageshack.us)
Spiacente ma lo stress block non consente di trovare le configurazioni in cui il calcestruzzo non sia alla massima deformazione e quindi quelle della maggior parte dei punti interni al dominio di rottura. Di conseguenza la risoluzione del sistema delle 2 eq. indicate non è corretto (ipotizzando sempre il raggiungimento della deformazione ultima del cls).
Per individuare li punti interni è necessario utilizzare il diagramma parabola-rettangolo.
Come prova della biunivocità tra punti interni del dominio e deformazioni corrispondenti ho postato il diagramma momenti curvature della sezione in studio. Come si può vedere esso è monotono crescente ed ammette come momento ultimo (all'estremo destro) proprio quello ottenuto dal dominio. Nella griglia in basso sono indicati i valori di deformazione per ogni momento intermedio: in particolare per M=0.9 Mul si ha che sia l'acciaio che la fibra estrema del cls. non raggiungono la deformazione ultima di normativa.
Saluti
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A pensarci bene il diagramma momenti curvature può costituire un ulteriore metodo di verifica della resistenza alternativo al dominio di rottura dando in più l'idea del comportamento della sezione (asse neutro, deformazioni unitarie etc)nelle fasi antecedenti alla rottura.
Al variare dello sforzo normale, però, occorre rifare il diagramma (col PC ovviamente).
Saluti
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Renato, ti ringrazio per la pazienza dimostrata.
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Volevo concludere con un approfondimento
CONSIDERAZIONI SULLE SOLLECITAZIONI EFFETTIVE DELLA SEZIONE IN C. A. ALLO SLU - UN METODO DI CALCOLO
Riprendo la discussione per fare alcune considerazioni sullo stato tensionale effettivo delle sezioni in c.a. allo SLU, considerando i diagrammi costituitvi dei materiali (cioè tenedo conto delle deformazioni plastiche del cls e dell'acciaio).
Innanzi tutto si rileva che le azioni di calcolo allo SLU (Nd ed Md) non sono quelle reali, ma sono amplificate dei fattori Gamma.
Ne deriva che l'eventuale stato tensionale stabilito con quei valori è errato perchè riferito a sollecitazioni non reali.
Le sollecitazioni relai sono quelle allo SLE, ma, in genere, quelle sollecitazioni sono in campo elastico, per cui non vale la pena di complicarsi troppo la vita. Conviene applicare le semplici formule dell'analisi elastica per stabilire lo stato tensionale effettivo della sezione.
Quindi, a mio avviso, è più che corretto quello che facciamo per prassi cioè:
- calcolo della resistenza ultima per SLU
- calcolo dello stato tensionale per SLE
L'unico vantaggio, con un eventuale calcolo tensionale in SLU è quello di valutare, attraverso le deformazioni della sezione, in che posizione stiamo, cioè se siamo andati in campo plastico e quanto siamo lontani dalla rottura.
Questa informazione, a mio avviso, è poco pratica perché, ripeto, le sollecitazioni reali da considerare per avere lo stato tensionale sono quelle allo Stato Limite Elastico. I materiali allo SLE dovrebbero essere sempre sollecitati nella zona elastica, per cui non conviene complicarsi la vita.
Ma se un ingegnere farmacista, piuttosto scrupoloso, volesse calcolare lo stato tensionale di una sezione con le effettive leggi costituite dei materiali, potrebbe farlo in qualche modo?
Secondo me si può fare: ecco come.
E’ un po’ complesso e andrebbe implementato in un programma, ma si può fare. Pe capire il metodo occorre fare riferimento alla figura sotto.
(http://img88.imageshack.us/img88/9964/sezione.jpg)
PER COSTRUIRE IL DOMINIO DI ROTTURA noi facciamo i seguenti passi:
1) Stabilisco un asse neutro X
2) Calcolo la rotazione della sezione che provoca la rottura (esempio linea Blu che provoca schiacciamento cls 3,5 permille)
3) Stabilite le deformazioni della sezione calcolo le forze F1 ed F2 del ferro. Per calcolare la Forza Nc del cls, divido la sezione in striscioline e calcolo i vari contributi.
4) Calcolo Nu come somma di tutte le forze ed Mu come somma di tutte le forze per la distanza dal centro della sezione.
5) Ho ottenuto così un punto del dominio (punto Blu) corrispondente alle azioni ultime Nu ed Mu.
6) Gli altri punti del dominio li ottengo variando la posizione dell’asse neutro lungo tutta la sezione.
METODO DI CALCOLO PER STABILIRE LO STATO TENSIONALE DELLA SEZIONE
1) Stabilisco la posizione di X
2) anziché considerare solo la rotazione della sezione che provoca la rottura (linea Blu) considero anche le rotazioni intermedie (linea tratteggiata). Ottengo così i le sollecitazioni di altri punti, ad esempio N1-M1, N2-M2, N3-M3, ecc. corrispondenti alle diverse rotazioni della sezione attorno all’asse neutro.
3) Quindi oltre al punto 3 Blu di rottura avrò anche i punti di sollecitazione intermedi 1-2-3 con i rispettivi valori di sigmaC e sigmaF che devo annotare per ogni punto.
4) Per ogni variazione della posizione dell’asse neutro, avrò non solo il punto di rottura (punto Blu) ma anche i punti corrispondenti alle rotazioni intermedie della sezione. Avrò quindi tante curve (una per ogni posizione di asse neutri), come quelle rappresentate coi punti 1-2-3.
5) A questo punto scelgo il punto di intersezione dato da Nd e Md. Le sollecitazioni e la deformazione della sezione saranno quelle del punto di intersezione.
Per me, non vale la pena, ma se qualche docente o studente volesse implementare il metodo con un programma, a logica dovrebbe funzionare.
Ciao, alla prossima
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:)
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Ora io non so se l'aver assunto lo stress-block come riferimento mi abbia semplificato il problema e me lo abbia fatto risolvere. E non so nemmeno se ho seguito la "retta via" per giungere a questa conclusione. Sappimi dire.
Confermo che la corrispondenza biunivoca.
Ho voluto provare a usare un mio foglio elettronico, in cui uso il parabola rettangolo, per vedere che valori di deformazione si ottengono inserendo:
MEd = 69,22 kNm e NEd = 10 kN.
Ecco il foglio elettronico:
(http://img9.imageshack.us/img9/5982/deformazioni.th.jpg) (http://imageshack.us/photo/my-images/9/deformazioni.jpg/)
con le impostazioni utilizzate per risolverlo alla rovescia (ho usato i procedimenti della programmazione non lineare):
(http://img847.imageshack.us/img847/6016/risolutore.th.jpg) (http://imageshack.us/photo/my-images/847/risolutore.jpg/)
(http://img7.imageshack.us/img7/8607/opzionirisolutore.th.jpg) (http://imageshack.us/photo/my-images/7/opzionirisolutore.jpg/)
Sostanzialmente è costruito dividendo la sezione in striscie da 0,5cm. Ovviamente c'è qualche lieve tolleranza da accettare sia per le impostazioni del procedimento di risoluzione numerica e sia per l'approssimazione della suddivisione della sezione.
I valori che leggi delle deformazioni sono:
epsilonC = 3,4743911314 (millesimi)
epsilonS = 23,2682812831 (millesimi)
Diciamo che sostanzialmente è giusto.
I valori da ottenere sarebbero dovuti essere:
epsilonC = 3,5 (millesimi)
epsilonS = 23,4818276158 (millesimi)
(A cui in realtà corrisponde MRd = 69,2223 kNm, altro piccolo motivo di imprecisione numerica senza contare che mi sono accorto solo dopo che nel programma di Gelfi si usa Es = 200GPa contro i 210 che ho usato io).
P.S.
Riflettendo un po' mi sono accorto che non è propriamente vera la biunivocità.
Ad esempio in trazione, con entrambe le armature snervate, sono infiniti i valori di deformazioni a cui corrisponde un unico punto nel piano NM (ed è indipendente dal legame costitutivo del cls).
Inoltre ho visto che usando lo stress block rettangolare, per la sezione considerata, ho un'infinità di soluzioni nell'intervallo compreso tra la curvatura di snervamento e quella ultima a cui corrisponde sempre e comunque un'unica coppia NM.
La cosa non succede con il parabola rettangolo.