Ingegneria Forum

ciao sono una neolaureata in ingegneria dei materiali. dovro sostenere l'esame di stato la prox settimana e mi sono imabattuta nel compito che vi allego.. qualcuno puo aiutarmi a svolgerlo? grazie..

Andiamo avanti, leggendo un pò dei dati che vengono forniti nell'esercizio. Ragioniamoci sopra un po.
Del provino ti si dicono alcune cose: è rettangolare ed è di 2 mm di spessore, e sembra che esso, sollecitato da un momento di 0.5 Nm, debba arrivare ad una tensione di 50 MPa.
Non ti dicono nulla sulla larghezza del provino stesso. Questa grandezza, invero, non ti serve subito, seguendo l'ordine dei quesiti, intendo. Ma ti servirà in seguito quando bisognerà mettere mano alle deformazioni del sistema. Quindi vediamo di ricavarla subito, sia per toglierci il pensiero, sia perchè in fondo per ricavare la larghezza del provino sono sufficienti tutti i dati del problema, senza dover decidere altro.

Sapendo che sigma=M/W, possiamo, invertendo la formula, ricavare W=M/sigma
(una precisazione importante: dagli schemi sopra riportati il provino è sollecitato da flessione e basta, non vi è taglio, sforzo normale, o altro che possano "sporcare" il suo stato tensionale di pura flessione e dunque le sollecitazioni che in esso si generano).
Mettendo tutto in unità di misura a me più gradite, avremo: W=50[Ncm]/5000[N/cm²]=0.01 cm³
E poichè per una sezione rettangolare W=b*h^2/6, anche qui invertendo la formula, si ottiene b=6*W/h^2, ovvero: b=6*0.01/0.2^2=1.5 cm
(Insomma un provinetto).

Adesso cominciamo a mettere qualche numero per la macchina. Ad esempio fissiamo il valore del braccio a che determina la forza F e di conseguenza il taglio sul perno della macchina ed il momento sul provino.
DFallo schema statico si era visto che M=F*a. L'esercizio ci dice che M dovrà essere di 0.5 Nm, deciso il valore a, automaticamente avremo quindo la forza F, con la quale potremo dimensionare perni e cuscinetti della macchina.

Facendo qualche considerazione sulla lunghezza del provino (15 cm) sul basso momento, in fondo, che devo generare, su dimensione di perni e cuscinetti, ecc. io meno di 10 cm per a non metterei.

Ovviamente Antonella, ingegnere dei materiali, che di macchine di prova ne capisce più di me, potrà optare per altra misura, e per varie ragioni. Ma in ogni caso i ragionamenti divergeranno per i numeri ma non per la sostanza.

Se metto 10 cm di braccio, mi basta una forza di 5 N, per ottenere il momento di 0.5 Nm che dovrà sollecitare il provino.
5 N sono solamente mezzo kilo. Cioè nulla. Anche un perno "spillo" può essere in grado di sopportare un simile sforzo, ma tant'è, il quesito l'ho letto più volte, e mi pare che da lì non si scappa.
Il dimensionamento dell'asse lo lascerei ad Antonella, perchè senza un disegnino, uno schema di come la macchina è materialmente fatta, qualsiasi tentativo di verifica significherebbe numeri in libertà.

Anche oggi mi fermerei qui, perchè vorrei che Antonella battesse un colpo, ovvero si mostrasse d'accordo con quanto fin qui svolto, per andare avanti nel calcolo delle deformazioni del sistema.

Mi ero preoccupato di chiaccherare da solo come i pazzi, ma invece a quanto pare gli esami non li hai ancora fatti. Bene.

Quindi adesso si passa alle deformazioni.

I dati dell'esercizio ti dicono tutto del provino. Ad esempio il materiale: E=70000 Mpa=7.000.000 N/cm²
Avendo nella puntata precedente ricavato la larghezza del provino possiamo calcolare l'inerzia della sua sezione: J=b*h^3/12=1.5x0.2^3/12=0.001 cm4

Della macchina invece non si sa nulla.
Poco male, perchè anzi possiamo e dobbiamo sfruttare la cosa a nostro vantaggio.
Ad esempio basterebbe fare il braccio della macchina di larghezza 1.5 cm ed altezza 2 cm, in acciaio con E=21.000.000 N/cm² per avere una rigidezza 3000 volte maggiore di quella del provino, potendo battezzare come “flessionalmente infinitamente rigido” il braccio della macchina rispetto al provino.
(Ovviamente le tue considerazioni sul fatto che in corrispondenza del perno tu possa avere un indebolimento della sezione ti porteranno ad aumentare la sezione per far posto al perno, oppure ad aumentarla solamente in corrispondenza del perno, oppure....., insomma deciderai tu)

Pare cosa da poco, ma questa assunzione ci permette di concentrarci sui 15 cm del provino e basta.

In pratica la deformata del tuo sistema sarà questa:



E i bracci della macchina rimarranno rettilinei e dotati di semplice possibilità di rotazione.

Con l'equazione della linea elastica, per il nostro provino avremo:

d²w/dx²=-M/(EJ)
(E e J del provino, M costante per tutta la lunghezza del provino. Il sistema di riferimento x parte dall'estremo sinistro del provino)

Integrando una prima volta si ottengono le rotazioni:

dw/dw=alfa(x)=-M*x/(EJ)+A

Ed integrando una seconda volta, finalmente, la deformata:

w(x)=-M*x²/(2EJ)+Ax+B

Con A e B, costanti di integrazione, da ricavare da condizioni al contorno. La prima che per x=0 ==> w(0)=0, la seconda che per x=L ==> w(L)=0
(Stiamo studiando il provino in maniera isolata, trascurando tutto ciò che vi è attorno, da ciò le due condizioni).

Dalla prima condizione si vede rapidamente che B=0, dalla seconda: A=M*L/(2EJ)

Pertanto w(x)=-M*x²/(2EJ)+M*L*x/(2EJ)
alfa(x)=-M*x/(EJ)+M*L/(2EJ)

E ad x=L/2 ==> w(L/2)=-M*L²/(8EJ)+M*L²/(4EJ)=M*L²/(8EJ)
(Perchè un estensimetro in mezzo, non glielo si nega a nessuna trave)

Da cui sostituendo i vari valori si arriva a:

w_mezz=50*15^2/(8*7000000*0.001)=0.20 cm

Invece la rotazione in corrispondenza dell'estremità

alfa_0=M*L/(2EJ)=50*15/(2x7000000*0.001)=0.0536 (radianti)

La rotazione dell'estremo del provino è la stessa del braccio della macchina, perciò in effetti le due estremità, destra e sinistra dello stesso si abbasseranno di b*alfa, ed anche la deformazione in mezzeria del provino dovrà essere aumentata della stessa quantità per avere lo spostamento effettivo della mezzeria.

La decidiamo questa b? Io propongo nuovamente 10 cm, come il valore che avevo imposto alla a.

Quindi l'estremo del provino, su cui metterò l'estensimetro, si abbasserà di 0.0536x10=0.536 cm
Invece la mezzeria di: 0.20+0.536=0.736 cm

Io adesso mi fermo qui, non avendo nessuna competenza circa tensioni che gli estensimetri dovrebbero fornire a seguito di queste deformazioni.
Andrai avanti tu.

Unica osservazione che posso fare è che anche gli estensimetri andrebbero scelti per la loro corsa.
Ed anzi, siccome una macchina del genere mi pare utile per prove a fatica, con inversione dei momenti e dunque di verso di sollecitazione all'interno del provino, prevederei corsa degli estensimetri doppia di quella trovata, anzi sestupla, perchè non vorrai utilizzare questa macchina solamente per far lavorare a 500 daN/cm² i provini? A 1500 daN/cm² non ci dobbiamo arrivare?
Insomma, 5 cm circa di corsa.
Io invece sono arrivato a fondo corsa.